弧角天星运算学：球面坐标系

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仰望华夏星空，探究天人之际，我是双鱼戏水。前面几期内容梳理了球面三角学中的常用公式，从这一期开始，我们进入“球面坐标系”的部分。

从平面解析几何中知道，平面上任何一点都可由直角坐标系的一组坐标(x、y)来唯一确定，确定球面上的位置则需要用球面坐标系。比如，知道地球上某点的经度和地理纬度，便可以确定唯一位置，地理坐标就是一种球面坐标系。

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直角坐标系有两条互相垂直的X、Y轴，球面坐标系相应的有两个互相垂直的大圆，如图中的BCB'和ABA'，它们即分别相当于OX、OY轴，一般称它们为球面坐标的基本圈。两大圆的交点之一B，也与原点O 相当，称为球面坐标系的“基本点”或“原点”。

天球上任何一点σ的球面坐标如下:

通过 Aσ作大圆 AσA',与基本圈 BCB'交于M,则 AσA' 称为第一坐标线。通过σ作平行于基本圈BCB'的小圆RσR',与大圆ABA'交于R、R'，则RσR'称为第二坐标线。

⌒BM 即为σ的第一坐标,⌒BR即为σ 的第二坐标。因为⌒BR =⌒Mσ，所以通常把，σ 的第二坐标取为⌒Mσ。因为它们都是弧长，常用角度表示。

在天文学中，经常因研究对象或方法的不同，而选取不同的天球坐标系统。各种天球坐标系的结构逻辑，其实是一致的。不同的只是选用的基本圈、基本点，或者量度的方法不同而已。

最常用的天文坐标系有五种:地平坐标系、时角坐标系(第一赤道坐标系)、赤道坐标系(第二赤道坐标系)、黄道坐标系，以及银道坐标系。

在正式学习各种天球坐标系之前，我们先来温习和深化一下对天球上的点、线、圈的理解，因为这个理解对于后续“解球面三角形”的实际应用非常重要。

◎天球上和地球相关的点、线、圆：

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如图1为地球，Pn为北极，Ps为南级，PnPs为地轴。大圆eq为赤道。在图2中，设O为天球球心，过O作与地轴平行的直线，并任意延长与天球球面相交于 PN、PS两点，其中与地北极相对应的一点PN称为天北极;另一点PS称为天南极。球直径PNPS称为天轴。

过球心O作一与天轴相垂直的平面，叫做天球赤道面，它与天球球面相截的圆称为天赤道。显然，天赤道面与地球赤道面相平行。

如果以地心为天球球心，则天轴就是地轴任意延长的结果;天赤道就是地赤道面任意扩展，与天球球面相截的结果。 

◎天球上和测者相关的点、线、圆：

1.天顶、天底、测者垂直线

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如上图，设A为测者，大圆PnAPs为地球上的测者子午线，其通过测者所在地和两极的半个大圆为测者经度线，O为地心，则AO为测者铅垂线，MM'为与AO相垂直的测者真地平面。

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如上图 ，设O为天球球心，过O作与测者铅垂线相平行的直线，并任意延长与天球相交于Z、Z'两点，其中与测者头顶上方相对应的一点Z称为天顶，另一点Z'称为天底。球直径ZZ'称为测者垂直线。 

2.测者子午圈：

通过天顶、天底和两天极的大圆，称为测者子午圈。天轴(或两天极)将测者子午圈等分为两个半圆。包含天顶的半个大圆，称为测者午半圈，包含天底的称为测者子半圈。

测者子午圈与天赤道，是两个互相垂直的大圆，并相交于Q、Q′两点，其中Q为午半圈的中点，Q′为子半圈的中点。

不难看出，天顶Z就象征着测者在天球上的位置，从午半圈中点Q到天顶Z的弧距QZ,等于测者纬度值φ。

3.测者真地平圈：

过天球球心O作一个与测者垂直线相垂直的平面，即为测者真地平面，将其任意扩展与天球球面相截所得的大圆称为测者真地平圈。显然，测者真地平圈就是天顶、天底的极线，即从天顶或天底到真地平圈的弧距都为90°。

测者真地平圈与测者子午圈为两个相互垂直的大圆，并相交于N、S两点，其中靠近天北极PN的一点N称为北；另一点S称为南。

测者真地平圈与天赤道也相交于E、W两点，面向北，左面为西，用W表示；右面为东，用E表示。E或W正好是N和S之间的中点，因为，同时垂直于某一大圆(子午圈)的两个大圆(天赤道和测者真地平圈),其交点必为该大圆(子午圈)的极，所以E、W两点是测者子午圈的极，因此，E或W与N或S之间的弧距都是90°。

◎天球上和天体相关的点和圆：

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1.天体时圈：


通过两天极和某天体的半个大圆，称为该天体的“时圈”，如图所示，天体B的时圈为PNBPS。

通过两天极，可以作无数个“半大圆”，即“时圈”。时圈和天赤道相垂直，时圈与地球上的经度线相对应。


  2.天体方位圈：

通过天顶、天底和某天体的半个大圆，称为该天体的“方位圈”。如图所示，天体B的方位圈为ZBZ'。

通过天顶、天底可以作无数个半大圆，即“方位圈”。方位圈和测者真地平圈相垂直，方位圈与地球上的“大圆方位线”相对应。

通过E(东)或W(西)点的方位圈，称为正东或正西方位圈，统称为“东西方位圈”，也叫“卯酉圈”。

◎天球区域的划分：

1.天赤道将天球等分为北天半球(包含Pn)和南天半球(包含Ps);

2.测者子午圈将天球等分为东天半球(包含E)和西天半球(包含W);

3.测者真地平圈将天球等分为上天半球(包括Z)和下天半球(包含Z′);

4.测者子午圈和东西方位圈将天球等分为北东(NE)、南东(SE)、南西(SW)和北西(NW)四个象限。

◎高极高度与测者纬度的关系：

1.高极与低极

在上天半球的天极称为“高极”，也叫“仰极”；在下天半球的天极称为“低极”，也叫“俯极”。

如测者在北纬时，天北极Pn为高极；反之，测者在南纬时，天南极Ps为高极。

2.高极高度等于测者纬度

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如图所示,设测者在北纬，由午半圈中点Q至天顶Z的弧距QZ，等于测者纬度φN=⌒QZ

即，由正北点N至高极PN的弧距NP为高极高度hPn  。即

hPN =⌒NPN

由于

φN+⌒ZPN=90° 

即

hPN +⌒ZPN=90°

∴ hPN=φN

即，高极高度=测者纬度

所以，北半球的北极星高度，就是当地的地理纬度。

（双鱼戏水）

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